Marine Costa étudie le violon, la danse classique, l'art dramatique et l'art du cirque à Bastia, sa ville d'origine, avant de se tourner vers l'art lyrique. Après une licence de musicologie à l'Université Nice Sophia Antipolis, elle intègre le Conservatoire National Supérieur de Musique et de Danse de Paris et l'École Normale de Musique, dont elle est diplômée en 2014. Elle bénéficie de l'enseignement de Susan McCulloch, Raphaël Sikorski, Elène Golgevit et Mireille Alcantara ainsi que de metteurs en scène et de chefs de chants comme Elaine Kidd, Mireille Larroche, Anne Le Bozec ou Robin Bowman. Elle participe aux master classes de Ruggero Raimondi, Dame Felicity Lott, François Leroux, Vincent Le Téxier, Ann Murray ou Suzan Bullock. Depuis 2017, elle suit plusieurs résidences au sein de l'Académie du Festival d'Aix en Provence (Voix et Artistes Relais) soutenues par les réseaux ENOA (European Network of Opera Academies) et MEDINEA (MEDiterranean INcubator of Emerging Artists).

Elle reçoit le Prix du Jeune Espoir Irène Jaumillot au Concours International de Chant de Béziers en 2007. Lauréate la même année du CNIPAL (stage court), elle est également finaliste du Concours International de Chant Nei Stëmmen au Luxembourg en 2012.

Marine fait ses débuts professionnels en interprétant le rôle de Martine (Le Médecin Malgré Lui, Gounod) , Dritte Dame (La Flûte Enchantée), La Contessa (Le Nozze di Figaro), Fiordiligi (Così Fan Tutte). Elle incarne également Silvia dans La Fée, opéra contemporain de Dominique Spagnolo et se produit en concerts avec le Quatuor Hermarque au Festival de Musique des Chapelles.

En 2015 et 2016, elle intègre le Lyric Opera Studio Weimar en Allemagne. Elle y interprète Papagena (La Flûte Enchantée) et à nouveau Fiordiligi, et se produit en concerts avec l'orchestre symphonique Saalfeld-Rudolstadt. En France, elle chante Donna Elvira (Don Giovanni) en version concert, puis Suzanne (Un Mari à la Porte, Offenbach), Marinette (La Diletante d'Avignon, Halevy) et Lucile (La Devineresse, de Lajarte) au Théâtre Impérial de Compiègne. Elle est également Violentine (Tout ce qui plaît aux Hommes, Delibes) avec l'orchestre des Frivolités Parisiennes.

Au cours de la saison 2017-2018, elle se perfectionne au Manhattan Opera Studio de New York et incarne Erste Dame dans La Flûte Enchantée. Elle fait ses débuts en concert au Carnegie Hall et au National Opera America. À l'été 2018, elle chante Sorceress (Dido and Aeneas, Purcell) dans une version participative et prend part au projet Européen Orfeo et Majnun au Festival d'Aix en Provence. Elle produit également en concerts avec les pianistes Nino Pavlenichvili et Phil Richardson au Festival de Chéronne.

En 2019,, Marine intègre la Résidence Voix Opéra De-Ci De-Là au Festival d'Aix en Provence. Elle interprète Ginette dans la création Accent au Festival Aix en Juin. Elle incarne ensuite Pénélope dans le spectacle lyrique nominé aux P'tits Molières Opéra'phone,  au Théâtre des Corps Saints au Festival Avignon Off. Elle se produit également en récital au festival Les Rencontres de Calenzana.

Par ailleurs, Marine Costa s'implique dans des actions visant à partager l'opéra auprès de publics différents et en dehors des lieux traditionnels, notamment avec l'association Music'OSéniors (MOS) dédiée aux personnes autistes ou atteintes de la maladie d'Alzheimer. Elle a rédigé à ce sujet un article pour Opéra Magazine en Décembre 2018 et à fait l'objet d'un reportage sur son engagement dans l'émission Extra-Ordinaires par FranceTV Slash.

Parmis ses projets en 2019-2020, citons Giovanna (Rigoletto), Rosina (Il Barbiere di Siviglia), Mme Lidoine (Le Dialogue des Carmélites) et Santuzza (Cavaleria Rusticana).

Marine travaille également  à la création de Girlhood, un opéra jeune public soutenu par le réseau Medinea du Festival d'Aix en Provence, avec le compositeur Omar Shahryar (création prévue en 2020).